Хаос. Нелинейная динамика

С. М. Брайчевский

Функции и образы
Выше, обсудив проблему детерминизма, мы познакомились с одним аспектом свойственной нашему миру ограниченности предсказательной способности науки, тесно связанным с понятием случайного. Теперь обратимся к другому аспекту, основанному на совершенно иной парадигме научного предсказания. И здесь мы, наконец, вплотную приблизимся к детерминированному хаосу.

Из всех приведенных выше умопостроений (не всегда внятных, но они на самом деле такие!) для дальнейшего нам, по сути, важно следующее: описание физического процесса с помощью уравнений, допускающих решение, позволяет, по крайней мере, в принципе предсказывать его развитие. Предсказание, как правило, оказывается ограниченным, но это – внешний по отношению к самому процессу эффект. Иными словами, глядя на окончательную запись решения, мы знаем, что она действительно описывает данный процесс, ну а то, что мы не всегда можем перевести ее в конкретные числа с требуемой точностью, конечно печально, но к способу описания явлений нашего мира отношения не имеет.

Однако этот способ на самом деле ограничен еще одним фактором, который очень редко обсуждают в явном виде, хотя в практическом плане сталкиваются с ним на каждом шагу.

Дело в том, что решения уравнений, хотим мы того или нет, являются функциями. А это означает, что они позволяют всего лишь вычислять значение интересующей нас величины на дискретном множестве точек независимой переменной, представляющих для нас интерес. Иначе с функциями просто невозможно обращаться (конечно, если требуется получить числа). Хорошо, если по смыслу задачи нам нужно одно значение, но существуют задачи, требующие совершенно иной структуры решений. Например, процесс охлаждения газа в сосуде. Он в принципе не может быть описан одним числом, но и это еще не все. Даже если мы составим таблицу, содержащую значения температуры для множества моментов времени, то она сама по себе скажет нам очень мало. Ведь, в конечном счете, нас интересуют закономерности процесса, а не численные значения параметров (конечно, бывают и такие задачи, но мы сейчас говорим не о них). Мы хотим знать, будет ли газ остывать быстро или медленно, равномерно или нет, и т. д., и т. п., и проч. Нам нужен результат, позволяющий непосредственно оперировать единицами смысла, принятыми в данной предметной области, а для этого одних чисел, а тем более одного числа, совершенно недостаточно.

Поэтому функциям приписывают свойства, формулируемые на естественном языке (то есть, не в виде колонок чисел). Для их описания используются такие понятия, как «возрастание», «убывание», «монотонность», «локальный экстремум», «периодичность» и другие. В простых случаях такие свойства могут быть установлены с помощью специально разработанных методов, но существуют ситуации, в которых это оказывается невозможным. Подчеркнем: не трудным, а именно невозможным, и не по причине технических сложностей, а потому, что поведение возникающих в этих ситуациях функций вообще не может быть однозначно описано в рамках рационального мышления.

Когда мы встречаем слово «синусоида», то в нашем воображении возникает целостный, интуитивно понятный образ, дающий нам возможность сразу качественно предсказать ход развития процесса, описываемого синусом. Например, можем сказать, что значения интересующей нас величины будут в точности повторяться через равные промежутки независимой переменной и при этом никогда не превысят единицу.

Но в тех случаях, которые мы имеем в виду, такой целостный образ не возникает и поэтому оказывается невозможным сконструировать какие бы то ни было общие представления о развития процесса. Эти случаи обозначаются термином «детерминированный хаос». Детерминированный – потому, что процесс полностью описывается уравнениями, позволяющими с доступной точностью определять конкретные значения параметров, а хаос – потому, что результат оказывается неузнаваемым и непредсказуемым, именно хаотичным в обычном смысле слова. Он представляет собой неупорядоченный набор разрозненных чисел, в расположении которых невозможно усмотреть никакой закономерности. Здесь поведение функции не удается описать комплексом интуитивно понятных свойств, поскольку на разных участках они могут оказаться (а могут и не оказаться) различными. Детерминированный хаос – это когда упорядоченная система находится в неупорядоченном состоянии.

Проиллюстрируем наши рассуждения на примере крайне интересного объекта, который обычно называют «дерево Фейгенбаума» по имени описавшего его Митчелла Фейгенбаума. Он интересен, помимо математических аспектов, еще и тем, что тесно связан с рядом весьма актуальных проблем, возникающих при изучении сложных биологических систем, в частности популяционной динамики. А чтобы сделать изложение более наглядным, сопоставим детерминированно-хаотическое дерево Фейгенбаума с теорией Мальтуса, не приводящей к хаотическим решениям.

В 1798 г. была анонимно издана книга Томаса Роберта Мальтуса под интригующим названием «Опыт о законе народонаселения, или Изложение прошедшего и настоящего действия этого закона на благоденствие человеческого рода». В основе приведенных в ней построений лежала очень простая идея, согласно которой народонаселение растет в геометрической прогрессии, а средства существования – в лучшем случае в арифметической. Отсюда делались различные далеко идущие выводы, которые нам совершенно не интересны. Мы же ограничимся самим законом роста народонаселения.

В современной литературе его описывают несколько иначе, а именно с помощью обыкновенного дифференциального уравнения, в котором скорость изменения плотности населения пропорциональна величине этой плотности. Решением такого уравнения является знаменитая экспонента, приведшая в свое время членов Римского клуба в суеверный ужас.

Так вот, экспонента может навевать на нас грустные мысли в плане исторического будущего человечества, но ведет себя просто прекрасно, в чем Читатель может без труда убедиться, посмотрев на ее график в любом справочнике. До недавнего времени считалось, что так или примерно так и должны себя вести решения детерминистических уравнений.

Но действительность оказалась сложнее, чем было принято думать.

Подойдем к поставленной проблеме с несколько иных позиций. Именно, учтем также в явном виде тот факт, что люди не только рождаются, но и умирают. А это означает, что реальная динамика народонаселения определяется двумя конкурирующими факторами: один направлен на рост численности населения, а другой – на ее сокращение.

В простейшем случае она может быть описана т. н. логистическим уравнением. Оно представляет собой закон Мальтуса, дополненный требованием того, чтобы популяция (поскольку обсуждаемые вопросы являются универсальными для всех биологических видов, в дальнейшем будем говорить просто о популяциях) никогда не превышала некоторое наперед заданное значение.

Логистическое уравнение имеет два класса решений, соответствующих росту и сокращению популяции. При этом и те, и другие асимптотически стремятся к некоторому равновесному состоянию. Поэтому говорят, что логиситическое уравнение описывает равновесие в биосфере – если популяция сокращается, и плотность популяции становится ниже равновесного состояния, она начинает расти, и наоборот. Здесь Читатель может задать вполне резонный вопрос о том, каким образом плотность возрастающей (убывающей) популяции может оказаться выше (ниже) равновесного значения при асимптотическом стремлении решений снизу (сверху) к этому значению. Причина в том, что равновесное значение плотности популяции зависит от внешних условий, таких как температура и влажность окружающей среды, объем доступных ресурсов, наличие естественных врагов и т. д., а они все время меняются. Поэтому численности популяций совершают колебания, обычно небольшие, около некоторого среднего значения, что вполне соответствует и нашей интуиции, и реальным наблюдениям. Здесь мы снова получаем привычную и понятную картину: малые изменения условий порождают малые отклонения от прогнозируемой тенденции.

Но выяснилось, что при определенных условиях решения логистического уравнения ведут себя совершенно иначе. Впервые это обнаружилось при дискретной формулировке задачи. Именно, будем рассуждать следующим образом. Примем как исходное допущение, что плотность популяции в некоторый момент времени определяется ее значением в предшествовавшие моменты. Построим дискретный набор равных интервалов времени и, задав начальное значение плотности популяции, станем вычислять ее значения для каждого из них с помощью рекуррентной процедуры. Поскольку логистическое уравнение имеет два класса решений, на каждом отрезке число возможных состояний удваивается по сравнению с предыдущим, и через несколько итераций поведение плотности популяции становится в полном смысле хаотическим (рисунок, изображающий данную последовательность решений, напоминает дерево и потому называется деревом Фейгенбаума).

Выбор между решениями, относящимися к разным классам, может определяться бесконечно малыми изменениями параметров задачи, а различие между самими решениями вовсе не обязано быть малым.

Поступая описанным образом, мы построили вполне детерминированную последовательность чисел, описываемую известным нам уравнением, но при этом не только не можем предсказать ее поведение на последующих временных интервалах, но и сопоставить с ней какой либо интуитивно осмысливаемый образ. Мы вообще не в состоянии сказать о ней что-либо определенное, кроме того, что она существует.