Хаос. Нелинейная динамика

С. М. Брайчевский

О роли неустойчивости
Выше мы увидели, что существует, по крайней мере, два рода ситуаций, к которым в том или ином смысле применимо понятие «случайный», и они качественно отличаются друг от друга. Напомним, что примером ситуации первого рода может служить движение теннисного мяча, а ситуации второго рода – бросание игральных костей. Внешне разница состоит в следующем. Траектория мяча может быть спрогнозирована, и случайные отклонения от нее всегда соразмерны со случайным разбросом значений внешних параметров, то есть малые изменения условий приводят к малым отклонениям. Падение же кости в принципе не поддается прогнозированию (во всяком случае, с точки зрения физики), и различие между исходами, насколько мы можем судить, не зависит от внешних условий.

Попробуем разобраться в этом различии.

Прежде всего, отметим: непредсказуемость здесь вызвана отнюдь не техническими сложностями или отсутствием достоверных данных. Причина значительно глубже и серьезнее: результат выбора между шестью гранями, на одной из которых кубик обязан, в конце концов, остановиться, концептуально не может быть представлен решением уравнений, описывающих все его движение от начала до конца. В лучшем случае мы можем разделить все движение на два этапа, поступив следующим образом: вначале построить траекторию кубика до того момента, когда он коснется поверхности стола, а затем, с помощью других инструментальных средств, определить характер его последующего падения на ту или иную грань. Причем конечное состояние первого этапа определяет начальные условия для второго.

Наши интуитивные представления, замешанные на знании классической механики (или наоборот – наши знания классической механики, замешанные на интуитивных представлениях), уместны до тех пор, пока кубик не коснется поверхности стола. Если бы он мог остановиться в этот момент, все было бы в порядке, как в случае с теннисным мячом. Но фокус в том, что кубик не может остановиться, коснувшись поверхности стола, скажем, вершиной. Такое состояние неустойчиво, и кубик неизбежно будет продолжать двигаться, пока не достигнет одного из устойчивых состояний, а их всего шесть. Выбор между ближайшими доступными состояниями определяется бесконечно малыми значениями параметров системы, но число таких состояний конечно, и, следовательно, конечны и различия между ними.

Элемент того, что мы в просторечии называем «случаем», состоит в наличии особой точки развития процесса, по одну сторону которой мы имеем непрерывное множество возможных состояний системы, определяемых законом ее движения и внешними параметрами, а по другую – конечное дискретное множество состояний, определяемых свойствами самой системы вне зависимости от характера ее движения.

Здесь мы действительно не можем предсказать конечное состояние системы, но не потому, что нам не известен характер ее движения, а потому, что это состояние определяется факторами совершенно иного рода.

В каком-то смысле мы имеем полное право утверждать, что падение кубика на ту или иную грань определяется конкретными значениями параметров движения и может быть описано уравнениями Гамильтона, но в силу того, что его состояние в момент касания стола неустойчиво, исход может зависеть от бесконечно малых их отклонений. Именно наличие неустойчивых состояний и приводит к несоразмерности различий в значениях параметров и конечных исходов. Подчеркнем, что в случае выхода из неустойчивого состояния речь идет не просто о незначительных отклонениях, а о действительно бесконечно малых, насколько это вообще возможно. Часто мы действительно не можем ни оценить, ни точно измерить такие величины. Мы можем лишь успокаивать себя тем, что причины на самом деле существуют, но вот только не поддаются количественной оценке. Потому и нет никакой возможности правильно предсказать результат.

Бенгальский тигр на Трафальгарской площади
Существует еще один, особый, класс ситуаций, в связи с которыми также употребляют слово «случайный», но в совершенно ином значении. И он стоит того, чтобы мы о нем упомянули.

Типичным примером может служить не планировавшаяся заранее встреча со знакомым на улице. Здесь речь идет об одиночных событиях, к которым неприменимо понятие вероятности. В повседневной жизни мы постоянно забываем об этом и без зазрения совести спрашиваем, например, «какова вероятность встретить на Трафальгарской площади в Лондоне бенгальского тигра?». На самом деле такой вопрос лишен смысла – говорить о вероятности можно только применительно к событиям, которые более или менее регулярно повторяются, в силу чего для них имеет смысл понятие частоты. Как правило, частота такого события в первом приближении совпадает с его вероятностью (или, если хотите, наоборот: вероятность совпадает с частотой). Там же, где нет частоты, нет и вероятности. Поскольку никто и никогда не встречал бенгальских тигров на Трафальгарской площади, бессмысленно говорить о вероятности их появления.

Разумеется, появление бенгальского тигра на Трафальгарской площади вызовет у потрясенных лондонцев вполне естественное изумление, но оно никоим образом не дает нам основания говорить о вероятности (в том плане, что она мала). В этом смысле вероятность события и его субъективная правдоподобность – совершенно разные вещи, причем вторая может оказаться точнее и полезнее первой.

Поэтому и определение таких ситуаций как случайных требует комментариев. Действительно, в чем разница между встречей экзотического бенгальского тигра и заурядного бобби, как называют в Англии полицейских? Только в том, что говорит нам по этому поводу наш повседневный опыт. Мы можем делать на сей счет любые предсказания, но пользы от них не будет никакой, разве что заключить пари «встретим – не встретим». Ведь, независимо от правильности предсказаний, они не расширяют наших знаний об окружающем нас мире. Если сегодня мы не встретили тигра, то отсюда вовсе не следует, что мы не встретим его и завтра, и, наоборот, если мы встретили бобби, то нигде не сказано, что будем встречать его впредь. Конечно, если бы нам были известны координаты и скорости каждого тигра (каждого бобби), а также координаты и скорости всех тел, с которыми они могут взаимодействовать, то ситуация выглядела бы совершенно иначе. Но они нам не известны, и тут уж ничего не поделаешь.

Появление и, соответственно, непоявление тигра никак не связанно с неустойчивыми состояниями, по крайней мере, в том смысле, в котором мы говорили об этом выше. Здесь случайность (типичное выражение – «редкий случай») отражает полное отсутствие информации о поведении системы, что делает его непредсказуемым, хотя на самом деле и тигры, и бобби движутся вполне определенным образом, вот только мы не знаем каким именно. Иными словами, случайными такие события выглядят исключительно для нас, и притом на субъективном уровне. С точки же зрения физики они вовсе не случайны.

Если мы станем каждый день ходить на Трафальгарскую площадь в надежде увидеть там тигра, то это не будет иметь ничего общего с многократным бросанием игральных костей. Ведь мы не повторяем одну и ту же ситуацию, а каждый раз имеем дело с новой, абсолютно никак не связанной с предыдущими. Более того, в данном случае мы в принципе не воспроизводим начальные условия процесса, что является ключевым моментом в исследованиях, предполагающих определение вероятности. Более того, и самих условий как таковых здесь нет: мы всего лишь выделяем из общего массива событий некоторый, более или менее произвольно взятый набор.

Единственное, что мы можем сказать, так это то, что до сих пор на Трафальгарской площади появление бенгальских тигров зафиксировано не было. Но из этого, вообще говоря, ровным счетом ничего не следует. Впрочем, если бы тигр все же был зафиксирован, из этого факта тоже ничего не следовало бы.

С точки зрения науки (вспомним приведенное выше высказывание Фреда Хойла) существует лишь два осмысленных пути: предсказывать либо конкретный исход единичного события, либо среднюю частоту повторяющихся событий. В первом случае мы имеем точное значение интересующей нас величины, а во втором – вероятность того, что эта величина будет принадлежать некоторому интервалу значений.