Хаос. Нелинейная динамика

С. М. Брайчевский

Несколько слов о детерминизме
Поскольку мы договорились обсуждать детерминированный хаос, неплохо вначале разобраться, почему он так называется. А для этого обратимся к проблеме детерминизма, которая в любом случае заслуживает того, чтобы ее рассмотреть.

Одно из наиболее драматических явлений в науке ХХ-го века (а может быть, и самое драматическое) вошло в ее историю под названием «Дискуссия Бора и Эйнштейна», хотя на самом деле в ней принимали участие все активные мыслители того времени. Собственно говоря, она не завершена до сих пор, и время от времени проскальзывает очередная публикация, свидетельствующая о том, что огонь страстей не погас окончательно, а всего лишь тлеет под толстым слоем пепла.

Для нас в этой дискуссии важно то, что ее краеугольным камнем было отношение к принципу детерминизма, который имеет самое непосредственное отношение к нашему предмету.

Вейхарт из романа Фреда Хойла «Черное облако» (1957 г.) произносит фразу, в которой заключена фундаментальная истина, определяющая, в конечном счете, всю структуру научного мышления: «В науке засчитывается только то, что позволяет делать правильные предсказания». Нравится нам это или нет – но дело обстоит именно так. Любой комплекс идей, представлений, методов, который не дает возможности правильно (и, желательно, количественно) предсказывать поведение изучаемой системы, не имеет никакого отношения к науке. Наука – источник знаний, а знания неотъемлемы от возможности управлять если и не всем миром, то хотя бы какой-то, доступной нам, его частью. Что нужно сделать, чтобы сварить кофе: нагреть его до определенной температуры, или поместить в клетку с канарейками? Мы ожидаем от науки, что она скажет нам, что произойдет в том и другом случае, и тогда мы выберем нужное.

Драматизм развития квантовой механики заключается в том, что возникла точка зрения, согласно которой такая программа, вообще говоря, в полной мере неосуществима. Физические процессы имеют аспекты, которые в принципе не могут быть предсказаны с требуемой степенью точности. Справедлива ли эта точка зрения, не ясно до сих пор, во всяком случае, ее противники все еще будоражат общественное спокойствие. Но в любом случае, мир оказался сложнее, чем казалось в доброе старое время.

Мы не собираемся углубляться в основания квантовой физики, даже на уровне анализа поучительных примеров, поскольку это все же слишком далекая от нашего предмета тема. Для нас важно другое: дискуссия Бора с Эйнштейном косвенно стимулировала интерес к изучению ряда вещей, ранее остававшихся вне поля зрения ученых. И результаты этих исследований превзошли всякие ожидания.

В частности, возник довольно неприятный для ревнителей классических традиций вопрос о том, только ли в квантовой механике предсказательная способность науки становится, по крайней мере, ограниченной. Ответ на него был получен и оказался настолько неожиданным, что на эту тему уже который год пишется множество работ, как научных, так и популярных.

Некоторые аспекты этой проблемы мы намерены сейчас обсудить.

Итак, вернемся к центральному принципу, согласно которому наука должна предсказывать поведение изучаемой системы. Прежде, чем говорить о том, умеют ли ученые делать предсказания, и если да, то в какой мере, неплохо бы вначале выяснить, может ли вообще наука это делать. Вероятно, Читатель согласится с тем, что сама постановка вопроса имеет смысл лишь в том случае, если существует некий внешний по отношению к системе набор факторов, вынуждающих ее в данных условиях вести себя тем или иным образом. Учение, утверждающее наличие в природе таких факторов, философы назвали детерминизмом. Как нетрудно догадаться, детерминизм был и остается фундаментом парадигмы классической науки.

Факторы, о которых идет речь, ученые называют законами и в идеале представляют в виде уравнений (как правило, дифференциальных), снабженных начальными и граничными условиями. Если удается найти решения этих уравнений, мы действительно можем предсказать поведение системы, а если не удается – что ж, тогда мы говорим, что предсказать можно все, только мы пока не умеем это сделать.

Таким образом, ученые пребывали в приятной уверенности, что наука действительно решает проблему детерминизма.

Однако существовали два обстоятельства, которые нарушали идиллию. Они были известны всегда, но при этом как-то не особенно беспокоили научную общественность.

Первое из них связано с точностью измерений, причем эта проблема, в свою очередь, подразумевает три аспекта: точность определения параметров задачи, точность определения краевых условий и точность определения конечного состояния. В эти вопросы мы не станем углубляться, поскольку они не имеют прямого отношения к нашей теме.

Второе обстоятельство связанно с существованием в нашем мире такого (почти мистического) фактора как случай. Что это такое, никто не знает. Просто вокруг нас постоянно происходит масса событий, которые мы называем случайными. При этом мы очень редко задумываемся (если задумываемся вообще) о том, что на самом деле означает слово «случайный». В быту, как правило, оно истолковывается как «беспричинный». И вот тут возникают серьезные проблемы.

Если исходить из фундаментальных оснований физики как науки о законах природы, то следует признать, что ничего случайного в ней быть не может. В принципе.

Случайные процессы невозможны уже в силу первого закона Ньютона. Формулируется он следующим образом: «Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». В прошлом веке этот закон постепенно стали рассматривать как собственно механический (а в последнее время без всяких на то оснований низвели до «определения инерциальных систем отсчета», переведя его тем самым из динамики в кинематику). Сам же Исаак Ньютон воспринимал его в более широком плане – книга его, вышедшая в 1687 г., называлась «Математические начала натуральной философии». Смысл (или, возможно, один из смыслов) первого закона именно в том, что любое изменение состояния физической системы всегда имеет причину в виде тех или иных внешних воздействий на нее. Система не может изменять свое состояние самопроизвольно, а тем более спонтанно, так сказать, «по наитию». Предметом изучения физики как раз и являются такие воздействия, что приводит к формулировке теоретических положений, называемых законами. Знание законов, в свою очередь, позволяет нам строго описывать динамику системы. Таким образом, истинно случайных процессов быть не может – всему есть причина, допускающая точное количественное описание.

Тем не менее, случайные события уверенно занимают свое место в науке, в том числе и классической механике, где спекуляции на тему, что система, мол, сверхсложная, не уместны. Поэтому, хотим мы того или нет, понятие «случайный» придется истолковать как-то иначе.

Вероятно, для многих привлекательным выглядит представление о случайности как мере нашего незнания. Причина, говорим мы себе, на самом деле есть, и развитие ситуации, в принципе прогнозируемое, но в силу ряда технических моментов учесть соответствующие факторы в явном виде не представляется возможным. Однако в действительности такое понимание случайности не отражает существо дела и, следовательно, не решает проблему.

Представим себе теннисиста, отрабатывающего удары у стенки. Мы все прекрасно понимаем, что точно предсказать место попадания мяча невозможно, поскольку оно зависит, например, от характера конвективных потоков воздуха, который определяется множеством факторов, нами, вообще говоря, не контролируемых. В этой ситуации можно, конечно, говорить о случайности, но вполне тривиальным образом: с одной стороны, все с самого начала понятно, а с другой – наблюдаемый эффект настолько незначительный, что никак не влияет на ход развития событий. Ведь в рамках визуального восприятия мяч попадает туда, куда следует (если не с точки зрения неопытного теннисиста, то в соответствии с законами механики). В этом смысле данный пример качественно отличается от событий, которые мы называем случайными, скажем от бросания игральных костей.

Здесь ключевым моментом является то обстоятельство, что малые изменения условий движения мяча влекут за собой малые изменения места его попадания, тогда как различия в конечных состояниях падающего кубика всегда существенны и, что самое главное, совершенно не зависят, как сказал бы Кузьма Прутков, от того, какие изменения станутся в атмосфере: он в любом случае окажется в одном из шести положений.

Точнее говоря, неопределенность конечного состояния кубика имеет два уровня. Во-первых, это место падения кубика на стол, а во-вторых, переход в одно из шести возможных конечных состояний. Первый аспект ничем не отличается от предыдущего случая: мы не можем точно предсказать, где именно кость коснется поверхности стола, но знаем, что изменения места падения соразмерны с изменением значений параметров, определяющих ее движение. Если многократно повторять бросание костей, сохраняя приблизительно одинаковые значения параметров, то кости будут падать приблизительно в одно и то же место. Но бессмысленно говорить, что в таком случае они также будут падать приблизительно на одну и ту же грань. Слово «приблизительно» здесь не уместно – кубик может упасть на одну и только одну грань, без каких бы то ни было промежуточных положений. Как бы точно мы ни воспроизводили весь комплекс условий, кубик будет падать по очереди на различные грани, причем с примерно одинаковой частотой на каждую. И вот здесь понятие «случайный» приобретает по-настоящему нетривиальное содержание, прежде всего потому, что конечное состояние костей, в отличие от места их падения, непосредственно влияет на дальнейшее развитие ситуации (например, от этого зависит исход игры и, следовательно, размер выигрыша).

Говоря о случае, мы обычно имеем в виду не малые, и потому не контролируемые, отклонения от предсказуемого, как сейчас модно говорить, тренда, а наличие нескольких, равновозможных трендов, выбор между которыми осуществляется без нашего участия. Иными словами, ситуации, в которых различия между исходами процесса явно несоразмерны с вариацией условий его протекания. Если мы тем или иным способом уточним значения параметров, определяющих движение теннисного мяча, то степень соответствия предсказания действительности повысится. Напротив, как бы мы не уточняли параметры, определяющие движение игральной кости, определить грань, на которую она упадет, все равно не удастся.

Если мы не собираемся всерьез выступить с опровержением I-го закона Ньютона, то вынуждены будем признать, что в каком-то смысле и случайные события определяются набором параметров, описывающих внешнее воздействие на изучаемую систему, но таким образом, что в любом случае предсказать что-либо не представляется возможным.

Следовательно, между двумя описанными ситуациями должно существовать принципиальное различие не столько в плане общих принципов движения, сколько в возможности прогнозировать поведение системы. И оно действительно есть.

Но это уже предмет особого разговора.