Хаос. Нелинейная динамика

Термин фрактал был предложен Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных математических структур. Основное определение фрактала, данное Мандельбротом, звучало так: "Фракталом называется структура, которая состоит из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Следует признать, что это определение, ввиду своей нестрогости, не всегда верно. Можно привести много примеров самоподобных объектов, не являющихся фракталами, например, сходящиеся к горизонту железнодорожные пути.

 В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Строгое определение самоподобных множеств было дано Дж. Хатчинсоном (J. Hutchinson) в 1981 году. Он назвал  множество самоподобным, если оно состоит из нескольких компонент, подобных всему этому множеству, т.е. компонент получаемых афинными преобразованиями - поворотом, сжатием и отражением исходного множества.

Однако самоподобие – это хотя и необходимое, но далеко не достаточное свойство фракталов. Ведь нельзя же, в самом деле, считать фракталом точку, или плоскость, расчерченную клетками. Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их  описания недостаточно «стандартной» топологической размерности. Фракталам характерна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorf) и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Размерность Хаусдорфа - Безиковича как раз и позволяет измерять степень «изрезанности». Размерность фрактальных объектов не является целым числом, характерным для привычных геометрических. Вместе с тем, в большинстве случаев фракталы напоминают объекты, плотно занимающие реальное пространство, но не использующие его полностью.

Помимо практической ценности фракталы используются художниками для создания необычных картин. Ниже приводится подборка изображений, некоторые из которых представлены на сайте Lenta.ru.

Трехмерная вариация на тему классического множества Мандельброта 800x800, 225K	Часть множества Мандельброта вблизи 800x700, 177K	"Пещера секретов" 1000x600, 123K
"Брокколи" 900x900, 170K	"Замерзший ад" 900x521, 134K	"Мороженное с Нептуна" 800x800, 97K
Лампочка Мандельброта 900x790, 110K	Лампочка Мандельброта степени 8 900x900, 191K	Лампочка Мандельброта степени 16 600x580, 177K
Гладкая лампочка Мандельброта 900x900, 244K	Лампочка Мандельброта дробной степени 900x900, 219K	Синусоидальная лампочка Мандельброта 900x900, 124K